相位超前補償器 Phase Lead controller design for DC motors

假設直流有刷馬達由輸入電壓(V)到位置輸出(pulses)的轉移函數如下
Assume the following dynamic function stands for transfer function of DC brush motor input voltage (V) to the position output (pulses)

\[ G(s) = \frac{K_m}{s(1+\tau_m s)}, \]

其中 $k_m$ 是穩態增益，$\tau_m$ 是時間常數。

假設相位超前補償器的形式如下：
The form of phase lead controller $C(s)$ is

\[ C(s) = \frac{1+T_zs}{1+\alpha T_z s} \]

我們的目標是利用 $\alpha$ 和 $T_z$ 這兩個參數來調整閉迴路控制系統的迴路增益(Loop Gain) $C(s)G(s)$ 波德圖的零交越點 $\omega_c$ 頻率，以及相位邊限 $\phi_c$ (phase margin)。

設計參數是零交越點 $\omega_c$ 頻率，以及相位邊限 $\phi_c$ (phase margin)。因此先確認相位超前補償器在 $\omega_c$ 頻率處，可以提供多少相位

\[ \phi_m(\omega) = \angle C(j\omega) = tan^{-1}(\omega T_z) - tan^{-1}(\alpha\omega T_z)\]

其中 $\phi_m(\omega)$ 的最大值發生在微分等於 0 的頻率，也就是我們要的零交越點頻率 $\omega_c$。因此

\[ \frac{d\phi_m(\omega)}{d\omega} = \frac{T_z}{1+\omega^2T_z^2} - \frac{\alpha T_z}{1+\alpha^2\omega^2T_z^2} \]

也就是

\[ \frac{T_z}{1+\omega_c^2T_z^2} = \frac{\alpha T_z}{1+\alpha^2\omega_c^2T_z^2} \Rightarrow \alpha^2\omega_c^2T_z^2 - \alpha (1+\omega_c^2T_z^2) + 1 = 0 \Rightarrow (\alpha\omega_c^2T_z^2 - 1)(\alpha - 1) = 0 \]

由於 $\alpha \ne 1$ (否則$C(s)=1$)，所以

\[ \alpha = \frac{1}{\omega_c^2T_z^2} \Rightarrow \omega_c = \frac{1}{\sqrt{\alpha}T_z} \]

這時提供的最大相位是

\[ \phi_{max} = \max_{\omega} \phi_m = \phi_m(\omega_c) = tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{\alpha}}) - tan^{-1}(\sqrt{\alpha}) \]