PD 控制的數位化設計

我們希望針對電腦鼠 PD 控制器的「數位化」做一些討論。 在 Peter 的文章 (Characterising the drive system on the micromouse) 中提到，電腦鼠的直走或旋轉運動，可以利用實驗資料找出對應的動態系統，還有對應的參數 $\tau_m$ 和 $K_m$ \[ G(s) = \frac{K_m}{\tau_ms + 1} \] 這一篇文章要討論的是 PD 控制器，以及它數位化後的結果。Peter 也有一篇類似的文章 Designing the motor controller 。整體的系統架構是 \[ e(s) -> K_p+K_ds -> \frac{K_m}{\tau_ms + 1} \] 其中 $e(s)$ 代表命令與位置輸出之間的誤差。 $G(s)$ 的狀態空間表示式是 \[ \dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t), \\ y(t) = Cx(t) \\ A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & \frac{1}{\tau_m} \end{bmatrix} , B = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} , C = \begin{bmatrix} \frac{K_m}{\tau_m} & 0 \end{bmatrix} \] $G(s)$ 狀態空間表示式以取樣時間 $\Delta$ 數位化後的結果 $G(z)$ 是 \[ x[n+1] = Fx[n] + Gu[n], \\ y[n] = Hx[n] \\ F = e^{A\Delta}, B = , C = \begin{bmatrix} \frac{K_m}{\tau_m} & 0 \end{bmatrix} \]