這一篇文章主要是要補足前一篇文章「
Kato 與我關於電腦鼠角速度曲線平滑化的討論」和 SIMULINK 行為模型不同之處，因為我忘了為何兩者定義有些不同。
原先的做法是
\( \omega_c(t) = \alpha\sin (\beta t), t \in [0, \pi/(2\beta)] \)。
原始餘弦函數若是
\( \omega_o(t) = \alpha(1-\cos (\beta t)), t \in [0, \pi/(2\beta)] \)，
其中角加速度的極大值由以下的微分運算可以知道為 $\alpha \beta$
\( \frac{d\omega_o(t)}{dt} = \alpha \beta \sin(\beta t), t \in [0, \pi/(2\beta)] \)
把 $\omega_o(t)$ 的微分(角加速度)在 $t=\pi/(2\beta)$ 產生最大值 $\alpha\beta$ 的點，作為「控制點」，將它移動到 $t=\pi/(2\sigma \beta)$ 的點。
因此，為了保持角加速度的極大值為 $\alpha \beta$，就將第一段角速度曲線的緩加速定義成
\( \omega_1(t) = \frac{\alpha}{\sigma}(1-\cos (\sigma \beta t)), t \in \left[ 0, \frac{\pi}{2\beta \sigma} \right] \)。
因此第二段角速度曲線 $\omega_2(t)$ 的變化過程，必須符合以下三個條件
- $\omega_1\left( \frac{\pi}{2\beta \sigma} \right) = \omega_2\left( \frac{\pi}{2\beta \sigma} \right) = \frac{\alpha}{\sigma}$
- $\omega_2 \left( \frac{\pi}{2\beta} \right) = \alpha$。
- $\frac{d\omega_1}{dt}\left(\frac{\pi}{2\beta \sigma}\right) = \frac{d\omega_2}{dt}\left(\frac{\pi}{2\beta \sigma}\right)$
假設
\( \omega_2(t) = a(b-c\cos(dt+e)) \)。
此時
\( \frac{d\omega_2(t)}{dt} = acd \sin(dt+e) \)。
那麼由於 $t=\pi/(2\sigma \beta)$ 時，角加速度必須是最大值，因此
\( d\frac{\pi}{2\beta \sigma}+e=\frac{\pi}{2} \)。
而且在 $t=\pi/(2\beta)$ 時，必須與原有的弦波角速度命令曲線相同大小，還有角加速度也是0，因此
\( d\frac{\pi}{2\beta}+e=\pi \)。
這兩個方程式相減，就可以找出 $d$ 的大小
\( d \left( \frac{\pi}{2\beta} - \frac{\pi}{2\beta\sigma} \right) = \frac{\pi}{2} \rightarrow d = \frac{\sigma\beta}{\sigma-1}, e = \pi-d\frac{\pi}{2\beta} = \frac{\pi(\sigma-2)}{2(\sigma-1)} \)
當 $dt_1+e = \pi/2$ 時，也就是 $t_1=\pi/(2\beta\sigma)$ 時
\( \omega_2(t_1) = ab = \omega_1(t_1) = \frac{\alpha}{\sigma} \)；
\( \frac{d\omega_2}{dt}(t_1) = \frac{d\omega_1}{dt}(t_1) = \alpha\beta = acd\sin(dt_1+e) = acd \)
由於 $d$ 已經找出大小了，所以
\( acd = \alpha\beta \rightarrow ac = \frac{\alpha\beta}{d} = \frac{(\sigma-1)\alpha}{\sigma} \)
當 $dt_2+e = \pi$ 時，也就是 $t_2=\pi/(2\beta)$ 時
\( \omega_2(t_2) = a(b+c) = \alpha \)；
剩下三個未知數 $a, b, c$，但上面三個方程式卻是相依，因為
\( ab = \frac{\alpha}{\sigma}, ac = \frac{(\sigma-1)\alpha}{\sigma} \rightarrow a(b+c) = \alpha \)。
因此，令 $c=1$，則
\( a = \frac{\alpha(\sigma-1)}{\sigma}, b = \frac{\alpha}{a\sigma} = \frac{1}{\sigma-1} \)。
以下就是完整的角速度曲線公式
\( f(t) = \left\{ \begin{array}{1,1} \frac{\alpha}{\sigma} [1-\cos (\sigma \beta t)] & t \in \left[0, \frac{\pi}{2\sigma \beta} \right) \\ \frac{(\sigma-1)\alpha}{\sigma} \left[ \frac{1}{\sigma-1}-\cos \left( \frac{\sigma\beta}{\sigma -1}t + \frac{(\sigma-2)\pi}{2(\sigma-1)} \right) \right] & t \in \left[ \frac{\pi}{2\sigma \beta}, \frac{\pi}{2\beta} \right] \end{array} \right. \)
因為 $\sin(\sigma\beta t-\pi/2) = -\cos(\sigma\beta t)$，而且
\( -\cos \left( \frac{\sigma\beta}{\sigma -1}t + \frac{(\sigma-2)\pi}{2(\sigma-1)} \right) = \sin \left( \frac{\sigma\beta}{\sigma -1}t + \frac{(\sigma-2)\pi}{2(\sigma-1)} - \frac{\pi}{2} \right) = \sin \left( \frac{\sigma\beta}{\sigma -1}t - \frac{\pi}{2(\sigma-1)} \right) = \sin \left( \frac{\sigma\beta}{\sigma -1} \left( t - \frac{\pi}{2}\frac{1}{\sigma\beta} \right) \right)
\)
因此完整的角速度曲線公式，也可以寫成
\( f(t) = \left\{ \begin{array}{1,1} \omega_1(t) = \frac{\alpha}{\sigma}\sin(\sigma\beta t-\pi/2) + \frac{\alpha}{\sigma} & t \in \left[0, \frac{\pi}{2\sigma \beta} \right) \\ \omega_2(t) = \frac{(\sigma-1)\alpha}{\sigma}\sin \left( \frac{\sigma\beta}{\sigma -1} \left( t - \frac{\pi}{2}\frac{1}{\sigma\beta} \right) \right) + \frac{\alpha}{\sigma} & t \in \left[ \frac{\pi}{2\sigma \beta}, \frac{\pi}{2\beta} \right] \end{array} \right. \)
接下來要找出上述角速度曲線加減速過程的累積角度，也就是上述曲線的積分。
\( \int_0^{t_1} \omega_1(t) \text{d}t = \frac{\alpha}{\beta\sigma^2} (\frac{\pi}{2} - 1), t_1 = \frac{\pi}{2\sigma \beta} \)
\( \int_{t_1}^{t_2} \omega_2(t) \text{d}t = \frac{\alpha}{\beta} \frac{(\sigma-1)^2}{\sigma^2} + \frac{\pi}{2\beta} \frac{\sigma-1}{\sigma} \frac{\alpha}{\sigma}, t_2 = \frac{\pi}{2\beta} \)
